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能斯特方程式計算器（電池電位）

簡而言之：能斯特方程式計算器：在任意溫度下求解 E、E°、Q 或 n，並從標準還原電位表中選擇兩個半電池，求得 E°cell、ΔG° 與 K。完全免費，在網頁瀏覽器中執行，不需下載。

上方計算器用於 E = E° − (RT/nF) ln Q，可求任一未知數。電池組合工具可從 38 組常見電對中選擇陰極與陽極，求出 E°cell、n、ΔG°、平衡常數 K，若提供 Q 也會算出實際電池電壓。

快速解答：25 °C 時 E = E° − (0.0592/n) log Q。鋅銅電池：E° = 0.34 − (−0.76) = 1.10 V，ΔG° = −212 kJ/mol，K ≈ 1.5 × 10³⁷。當 [Zn²⁺] = 0.10 M、[Cu²⁺] = 1.0 M 時，E = 1.13 V。

E = E° − (RT/nF) ln Q。在 E、E°、n 與 Q 中填入三個，留一個空白。

由兩個半電池求電池電動勢

能斯特方程式與相關公式

E = E° − (RT / nF) ln Q 在 298.15 K 時：E = E° − (0.0592 / n) log₁₀ Q E°cell = E°cathode − E°anode ΔG° = −nFE°cell ln K = nFE°cell / RT log K = nE° / 0.0592（298 K）

R = 8.314 J mol⁻¹ K⁻¹，F = 96485 C mol⁻¹，T 以克氏溫度表示，n 為平衡反應式中轉移的電子數。Q 的寫法與平衡常數式相同，生成物在分子、反應物在分母。不計純固體與純液體。氣體以 bar 為單位的分壓代入。

E°cell 的正負ΔG°K標準狀態下
正負大於 1自發（伽凡尼電池）
零零1達平衡
負正小於 1非自發（需電解）

濃差電池

兩個電極是相同金屬，因此 E° = 0，電壓完全來自濃度差。對於 Cu | Cu²⁺ (0.010 M) || Cu²⁺ (1.0 M) | Cu，n = 2 且 Q = 0.010/1.0，因此 E = 0 − (0.0592/2) log 0.010 = +0.0592 V。稀溶液一側為陽極。

標準還原電位（25 °C）

半反應E°（V）
F₂ + 2e⁻ → 2F⁻+2.87
S₂O₈²⁻ + 2e⁻ → 2SO₄²⁻+2.01
H₂O₂ + 2H⁺ + 2e⁻ → 2H₂O+1.78
MnO₄⁻ + 8H⁺ + 5e⁻ → Mn²⁺ + 4H₂O+1.51
Au³⁺ + 3e⁻ → Au+1.50
Cl₂ + 2e⁻ → 2Cl⁻+1.36
Cr₂O₇²⁻ + 14H⁺ + 6e⁻ → 2Cr³⁺ + 7H₂O+1.33
O₂ + 4H⁺ + 4e⁻ → 2H₂O+1.23
Br₂ + 2e⁻ → 2Br⁻+1.07
NO₃⁻ + 4H⁺ + 3e⁻ → NO + 2H₂O+0.96
Hg²⁺ + 2e⁻ → Hg+0.85
Ag⁺ + e⁻ → Ag+0.80
Fe³⁺ + e⁻ → Fe²⁺+0.77
I₂ + 2e⁻ → 2I⁻+0.54
Cu⁺ + e⁻ → Cu+0.52
O₂ + 2H₂O + 4e⁻ → 4OH⁻+0.40
Cu²⁺ + 2e⁻ → Cu+0.34
Hg₂Cl₂ + 2e⁻ → 2Hg + 2Cl⁻+0.27
AgCl + e⁻ → Ag + Cl⁻+0.22
Sn⁴⁺ + 2e⁻ → Sn²⁺+0.15
2H⁺ + 2e⁻ → H₂0.00
Pb²⁺ + 2e⁻ → Pb−0.13
Sn²⁺ + 2e⁻ → Sn−0.14
Ni²⁺ + 2e⁻ → Ni−0.25
Co²⁺ + 2e⁻ → Co−0.28
Cd²⁺ + 2e⁻ → Cd−0.40
Fe²⁺ + 2e⁻ → Fe−0.44
Cr³⁺ + 3e⁻ → Cr−0.74
Zn²⁺ + 2e⁻ → Zn−0.76
2H₂O + 2e⁻ → H₂ + 2OH⁻−0.83
Mn²⁺ + 2e⁻ → Mn−1.18
Al³⁺ + 3e⁻ → Al−1.66
Mg²⁺ + 2e⁻ → Mg−2.37
Na⁺ + e⁻ → Na−2.71
Ca²⁺ + 2e⁻ → Ca−2.87
Ba²⁺ + 2e⁻ → Ba−2.91
K⁺ + e⁻ → K−2.93
Li⁺ + e⁻ → Li−3.04

常見課本數值，相對於標準氫電極，四捨五入至 0.01 V。部分電對的數值依來源相差約 0.01 到 0.03 V（例如 Cr₂O₇²⁻/Cr³⁺ 列為 1.33 或 1.36 V，Au³⁺/Au 列為 1.50 或 1.52 V）。

範例解析

鋅銅電池（丹尼爾電池）

Zn | Zn²⁺ || Cu²⁺ | Cu。E° = 0.34 − (−0.76) = 1.10 V，n = 2。

ΔG° = −2 × 96485 × 1.10 = −212 kJ/mol。log K = 2 × 1.10 / 0.0592 = 37.2。

E° = 1.10 V，ΔG° = −212 kJ/mol，K ≈ 1.5 × 10³⁷

非標準狀態的鋅銅電池

[Zn²⁺] = 0.10 M，[Cu²⁺] = 1.0 M。Q = [Zn²⁺]/[Cu²⁺] = 0.10。

E = 1.10 − (0.0592/2) log 0.10 = 1.10 + 0.0296

E = 1.13 V

NCERT 題型的 Mg | Cu 電池

Mg | Mg²⁺ (0.001 M) || Cu²⁺ (0.0001 M) | Cu。E° = 0.34 − (−2.37) = 2.71 V。

Q = 0.001/0.0001 = 10。E = 2.71 − (0.0592/2) log 10

E = 2.68 V

pH 10 的氫電極

2H⁺ + 2e⁻ → H₂，E° = 0，P(H₂) = 1 bar。Q = 1/[H⁺]² = 10²⁰。

E = 0 − (0.0592/2) × 20 = −0.0592 × pH

E = −0.592 V

平衡常數（升學考試題型）

Cu + 2Ag⁺ → Cu²⁺ + 2Ag。E° = 0.80 − 0.34 = 0.46 V，n = 2。

log K = 2 × 0.46 / 0.0592 = 15.5

K ≈ 3.6 × 10¹⁵

過錳酸根氧化 Fe²⁺

MnO₄⁻ + 8H⁺ + 5Fe²⁺ → Mn²⁺ + 5Fe³⁺ + 4H₂O。E° = 1.51 − 0.77。

n = 5（Fe 半反應乘以 5，但 E° 不變）。

E° = +0.74 V，自發

單位與常見錯誤

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常見問題

什麼是能斯特方程式？

E = E° − (RT/nF) ln Q。它可求出濃度不是 1 M 時電極或電池的電位。在 25 °C 時變為 E = E° − (0.0592/n) log Q。

如何計算標準電池電位？

查出兩個標準還原電位，並使用 E°cell = E°cathode − E°anode。以鋅銅電池（丹尼爾電池）為例，0.34 − (−0.76) = 1.10 V。正值表示電池反應為自發。

0.0592 是怎麼來的？

它是 298.15 K 下的 2.303RT/F：2.303 × 8.314 × 298.15 / 96485 = 0.0592 V。此值隨溫度改變，因此不在 25 °C 時請使用完整的 RT/F 形式。

E°、ΔG° 與 K 有什麼關係？

ΔG° = −nFE° 且 ΔG° = −RT ln K，因此 ln K = nFE°/RT。E° 為正時，ΔG° 為負且 K 大於 1。

什麼是濃差電池？

兩側使用相同電極與離子、但濃度不同的電池。E° = 0，因此 E = −(0.0592/n) log(稀/濃)。電子會持續流動，直到兩側濃度相等。

電池放電時 E 會如何變化？

生成物累積、反應物消耗，因此 Q 上升、E 下降。當 E 降到零時，Q 等於 K，電池就沒電了（達平衡）。

能斯特方程式中的 n 是什麼？

依所寫反應式，每莫耳反應轉移的電子莫耳數。它必須與平衡的總反應式一致，例如 Zn + Cu²⁺ 的 n = 2，MnO₄⁻ 氧化 Fe²⁺ 的 n = 5。

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